はい、可能です。ただし証券会社によって手続きが異なりますので、まずは取引している証券会社に確認してください。変更には所定の手続きが必要です。
口座変更自体では税金の申告は不要ですが、一般口座で発生した利益については確定申告が必要な場合があります。変更前に取得価額や損益を確認しておきましょう。
2024年の新NISAを利用する場合は、特定口座への変更が必須ではありませんが、特定口座にしておくと税金計算が簡便になります。NISA枠を超える部分の運用には特定口座が便利です。