はい、可能です。ただし、年間投資枠は合計で120万円までとなるため、複数口座に分散する場合は注意が必要です。
楽天証券やSBI証券が人気です。手数料の安さや使いやすさ、投資信託の充実度などで比較すると良いでしょう。
つみたてNISAは長期投資が前提のため、相場の状況を気にせずいつ始めても問題ありません。早く始めるほど複利効果が期待できます。