金融機関を変更する場合、元の口座は解約する必要はありません。新しい金融機関に移管する形で継続できますが、移管手続き中は一時的に投資ができなくなる場合があるので注意が必要です。
年末(11月~12月)に変更手続きを行うのがおすすめです。これはNISAの非課税枠が年単位でリセットされるため、新しい年度からスムーズに運用を開始できるためです。
基本的に金融機関間の移管手続き自体に手数料はかかりません。ただし、一部の金融機関では口座維持手数料などが別途かかる場合があるので、事前に確認しましょう。